試題四
閱讀下列說明，回答問題1至問題2。
[說明]
0-1背包問題可以描述為：有n個(gè)物品，對i=1，2，…，n，第i個(gè)物品價(jià)值為vi重量為wi(vi和wi非負(fù)數(shù))，背包容量為W(W為非負(fù)數(shù))，選擇其中一些物品裝入背包，使裝入背包物品的總價(jià)值最大，

個(gè)物品不放入背包，xi=1表示第i個(gè)物品放入背包。
【問題1】用回溯法求解此0-1背包問題，請?zhí)畛湎旅鎮(zhèn)未a中(1)～(4)處空缺。
回溯法是一種系統(tǒng)的搜索方法。在確定解空間后，回溯法從根結(jié)點(diǎn)開始，按照深度優(yōu)先策略遍歷解空間樹，搜索滿足約束條件的解。對每一個(gè)當(dāng)前結(jié)點(diǎn)，若擴(kuò)展該結(jié)點(diǎn)已經(jīng)不滿足約束條件，則不再繼續(xù)擴(kuò)展。為了進(jìn)一步提高算法的搜索效率，往往需要設(shè)計(jì)一個(gè)限界函數(shù)，判斷并剪枝那些即使擴(kuò)展了也不能得到最優(yōu)解的結(jié)點(diǎn)?，F(xiàn)在假設(shè)已經(jīng)設(shè)計(jì)了BOUND(v，w，k，W函數(shù)，其中v、w、k和W分別表示當(dāng)前已經(jīng)獲得的價(jià)值、當(dāng)前背包的重量、已經(jīng)確定是否選擇的物品數(shù)和背包的總?cè)萘?。對?yīng)于搜索樹中的某個(gè)結(jié)點(diǎn)，該函數(shù)值表示確定了部分物品是否選擇之后，對剩下的物品在滿足約束條件的前提下進(jìn)行選擇可能獲得的最大價(jià)值，若該價(jià)值小于等于當(dāng)前已經(jīng)得到的最優(yōu)解，則該結(jié)點(diǎn)無需再擴(kuò)展。
下面給出0-1背包問題的回溯算法偽代碼。
函數(shù)參數(shù)說明如下：
W：背包容量；n：物品個(gè)數(shù)；w：重量數(shù)組；v：價(jià)值數(shù)組；fw：獲得最大價(jià)值時(shí)背包的重量；fp：背包獲得的最大價(jià)值；X：問題的最優(yōu)解。
變量說明如下：
cw：當(dāng)前的背包重量；cp：當(dāng)前獲得的價(jià)值；k：當(dāng)前考慮的物品編號(hào)；Y：當(dāng)前已獲得的部分解。
BKNAP(W，n，w，v，fw，fp，x)
1 cw←cp←0
2   (1)
3 fp←-1
4 while true
5    while  k≤n and cw+w[k]  ≤W do
6            (2)
7          cp←cp十v[k]
8          Y[k]←l
9          k←k+1
10    if k＞n then
11         if fp＜cp then
12               fp←cp
13               fw←cw
14               k←n
15               X←Y
16    else Y(k)←0
17    while  BOUND(cp，cw，k，W)  ≤  fp  do
18       while k≠0 and Y(k)≠1 do
19            (3)
20       if k=0 then return
21       Y[k]←0
22       cw←cw-w[k]
23       cp←cp-v[k]
24      (4)
【問題2】考慮下表所示的實(shí)例，假設(shè)有3個(gè)物品，背包容量為22。



下圖是根據(jù)上述算法構(gòu)造的搜索樹，其中結(jié)點(diǎn)的編號(hào)表示了搜索樹生成的順序，邊上的數(shù)字1/0分別表示選擇/不選擇對應(yīng)物品。除了根結(jié)點(diǎn)之外，每個(gè)左孩子結(jié)點(diǎn)旁邊的上下兩個(gè)數(shù)字分別表示當(dāng)前背包的重量和已獲得的價(jià)值，右孩子結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示擴(kuò)展了該結(jié)點(diǎn)后最多可能獲得的價(jià)值。為獲得最優(yōu)解，應(yīng)該選擇物品  (5)  ，獲得的價(jià)值為  (6)  。

對于上述實(shí)例，若采用窮舉法搜索整個(gè)解空間，則搜索樹的結(jié)點(diǎn)數(shù)為  (7)  ，而用了上述回溯法，搜索樹的結(jié)點(diǎn)數(shù)為  (8)  。